U.P Board Class 10 Math 822 IB Question Paper 2024

U.P Board Class 10 Math 822 IB Question Paper 2024 का उत्तर आप यहाँ से प्राप्त कर सकते हैं। जिसका कोई भी शुल्क आपसे नहीं लिया जायेगा। आइये विस्तार से सभी प्रश्नो को जानते हैं।

सत्र – 2024
गणित
समय: तीन घण्टे 15 मिनट  पूर्णांक: 70

नोट : प्रारम्भ के 15 मिनट परीक्षार्थियों को प्रश्नपत्र पढ़ने के लिए निर्धारित हैं।

निर्देश: i) सभी प्रश्न अनिवार्य हैं।

ii) इस प्रश्नपत्र के ‘अ’ और ‘ब’ दो खण्ड हैं।

iii) खण्ड ‘अ’ में 1 अंक के 20 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं जिनके उत्तर ओ० एम० आर० उत्तर पत्रक पर नीले अथवा काले बाल प्वाइंट कलम से सही विकल्प वाले गोले को पूर्ण रूप से काला कर चिह्नित करें ।

iv) ओ०एम०आर० उत्तर पत्रक पर उत्तर अंकित किए जाने के पश्चात उसे नहीं काटें तथा इरेजर, ह्वाइटनर आदि का प्रयोग न करें।

v) खण्ड ‘ब’ में 50 अंक के वर्णनात्मक प्रश्न हैं।

vi) इस खण्ड में कुल 5 प्रश्न हैं।

vii) प्रत्येक प्रश्न के आरम्भ में स्पष्टतः लिख दिया गया है कि उसके कितने खण्ड करने हैं।

viii) प्रश्न के अंक उनके सम्मुख अंकित हैं।

ix) प्रथम प्रश्न से आरम्भ कीजिए और अन्तिम प्रश्न तक करते जाइए। जो प्रश्न न आता हो उस पर समय नष्ट न कीजिए।

x) यदि रक्त कार्य के लिए स्थान अपेक्षित है तो उत्तर-पुस्तिका के बाएँ पृष्ठ पर कीजिए और फिर काट (x) दीजिए। उस पृष्ठ पर कोई हल न कीजिए।

xi) रचना के प्रश्नों के हल में रचना रेखाएँ न मिटाइए। यदि पूछा गया हो तो रचना के पद संक्षेप में अवश्य लिखिए।

xii) जिन प्रश्नों के हल में चित्र खींचना आवश्यक है, उनमें स्वच्छ एवं शुद्ध चित्र अवश्य खींचिए। बिना चित्र के ऐसे हल अपूर्ण और अशुद्ध माने जायेंगे।

खण्ड अ

(बहुविकल्पीय प्रश्न)

1. यदि 65 और 117 के HCF को 65p – 117 के रूप में व्यक्त किया जाय तो p का मान क्या होगा ?

(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4

Ans. (B) 2

2. (2tan 45°)/(1 + tan² (45°)) का मान होगा-

(A)-1
(B) 0
(C) 1
(D) 2

Ans. (C) 1

3. 15, 18 और 24 का ल०स० है-

(A) 90
(B) 120
(C) 240
(D) 360

Ans. (D) 360

4. 148/185 का सरलतम रूप है-

(A) 4/5
(B) 5/7
(C) 5/4
(D) 7/5

Ans. (A) 4/5

5. p के किस मान के लिए समीकरण 3x – y + 8 = 0 और 6x – py = 16 संपाती रेखाएँ निरूपित करती हैं ?

(A) -2
(B) 2
(C) 1/2
(D) – 1/2

Ans. (B) 2

6. यदि 3x + 2py = 2 और 2x + 5y + 1 = 0 द्वारा निरूपित रेखाएँ परस्पर समांतर हैं, तो p का मान होगा-

(A) 15/4
(B) – 4/5
(C) 3/5
(D) 5/3

Ans. (A) 15/4

7. यदि 15cot θ = 8 तो sin θ  का मान होगा-

(A) 17/15
(B) 15/8
(C) 8/17
(D) 15/17

Ans. (D) 15/17

8. यदि ABC तथा XYZ दो समरूप त्रिभुज हैं तथा ∠A = 75° और ∠B = 57° हो, तो ∠C का मान होगा

(A) 58°
(B) 48°
(C) 45°
(D) 54°

Ans. (B) 48°

9. बिन्दु m (-3,4) की मूल बिन्दु से दूरी है-

(A) 5
(B) 6
(C) √49
(D) 1

Ans. (A) 5

10. बिन्दुओं (-2,6) और (2,10) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य बिन्दु के निर्देशांक हैं-

(A) (-2,8)
(B) (-2,5)
(C) (-2,3)
(D) (0,2)

Ans. (D) (0,2)

11. किसी समबाहु त्रिभुज ABC में यदि AD ⊥ BC हो तो AD² बराबर होगा

(A) 1/2 CD²
(B) 4 CD²
(C) 2 CD²
(D) 3 CD²

Ans. (D) 3 CD²

12. त्रिभुज ABC के शीषों के निर्देशांक क्रमशः (7,5), (5,7) और (3, 3) हैं। यदि BC का मध्य बिन्दु D है, तो AD की माप होगी-

(A) 4 मात्रक
(B) 5 मात्रक
(C) 6 मात्रक
(D) 7 मात्रक

Ans. (C) 6 मात्रक

13. यदि sec θ = 2 तो θ का मान होगा-

(A) 90°
(B) 60°
(C) 45°
(D) 30°

Ans. (B) 60°

14. (cosec ² θ – cot² θ)(1 – cos² θ) का मान है

(A) sec²θ
(B) tan² θ
(C) cosec² θ
(D) sin² θ

Ans. (D) sin² θ

15. एक लम्बवृत्तीय बेलन के आधार का क्षेत्रफल 9π सेमी² है, तो उसके आधार की त्रिज्या होगी –

(A) 3 सेमी
(B) 6 सेमी
(C) 2 सेमी
(D) 4 सेमी

Ans. (A) 3 सेमी

16. 4 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के अन्तर्गत खींचे जा सकने वाले वर्ग का क्षेत्रफल होगा-

(A) 64 सेमी²
(B) 32 सेमी²
(C) 128 सेमी²
(D) 256 सेमी²

Ans. (B) 32 सेमी²

17. निम्नलिखित सारणी से माध्य होगा-

(A) 6
(B) 6.2
(C) 6.6
(D) 6.8

Ans. (C) 6.6

18. एक पासे को एक बार फेंका जाता है, तो एक अभाज्य संख्या के आने की प्रायिकता होगी-

(A) 1
(B) 1/2
(C) 2/3
(D 1/3

Ans. (B) 1/2

19. यदि किसी आवृत्ति वितरण का माध्य 20.5 तथा माध्यिका 21 हो तो उसका बहुलक होगा-

(A) 20.5
(B) 21
(C) 21.5
(D) 22

Ans. (D) 22

20. निम्नलिखित में से कौन-सी किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती है ?

(A) 4/3
(B) 2/3
(C) 1
(D) 3/5

Ans. (A) 4/3

खण्ड ब

(वर्णनात्मक प्रश्न)

1. सभी खण्ड कीजिए :

(a) यदि cot A = b/a तो सिद्ध कीजिए कि (b sec(A))/(a cosec(A)) = 1
Ans.

दिया है: $\cot A=\frac{b}{a}$​$$\frac{b\sec A}{a\cosec A} = \frac{b}{a}\times \frac{\sec A}{\cosec A} = \frac{b}{a}\times \frac{1/\cos A}{1/\sin A} = \frac{b}{a}\times \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{b}{a}\tan A$$

परन्तु $\tan A=\frac{a}{b}$​$$\Rightarrow \frac{b}{a}\times\frac{a}{b}=1$$

(b) x के किस मान के लिए 2x, x + 8 तथा 3x + 1 समांतर श्रेणी में होंगे ?
Ans. संख्याएँ: $2x,\, x+8,\, 3x+1$

AP की शर्त:$$2(x+8)=2x+(3x+1)$$ $$2x+16=5x+1 \Rightarrow 3x=15 \Rightarrow x=5$$

(c) सिद्ध कीजिए कि 2√3 एक अपरिमेय संख्या है।
Ans. मान लें $2\sqrt3$​ परिमेय है ⇒ $\sqrt3$​ भी परिमेय होगी
जबकि $\sqrt3$​ अपरिमेय है (ज्ञात तथ्य)
जो असंगत है।

अतः $2\sqrt3$23​ अपरिमेय है

(d) एक घन का आयतन 729 घन सेमी है। इसका सम्पूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Ans. आयतन = $a^3=729$$$a=\sqrt[3]{729}=9 \text{ सेमी}$$

सम्पूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल:$$6a^2=6\times 81=486 \text{ सेमी}^2$$

(e) बिन्दु (2, – 3) और (-4,6) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 1: 2 के अनुपात में अन्तः विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Ans. बिन्दु: $A(2,-3), B(-4,6)$A(2,−3),B(−4,6)

सूत्र:$$\left(\frac{1x_2+2x_1}{3},\frac{1y_2+2y_1}{3}\right)$$$$=\left(\frac{-4+4}{3},\frac{6-6}{3}\right) =(0,0)$$

(f) निम्नलिखित आवृत्ति वितरण से माध्य ज्ञात कीजिए :

Ans.

Σf=50, Σfx=1260 $$\text{माध्य}=\frac{1260}{50}=25.2$$

2. किन्हीं पाँच खण्डों को हल कीजिए:

(a) बिन्दु (-4,6) बिन्दुओं A (6,10) और B (3,-8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को किस अनुपात में विभाजित करता है ?
Ans.

दिया है
A(6, 10), B(3, −8)
और बिन्दु P(−4, 6)

मान लेते हैं कि P, रेखाखण्ड AB को m : n के अनुपात में विभाजित करता है।

सेक्शन सूत्र के अनुसार

$$P\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n},\frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)$$$$\Rightarrow \left(\frac{3m+6n}{m+n},\frac{-8m+10n}{m+n}\right)=(-4,6)$$

x–निर्देशांक से

$$\frac{3m+6n}{m+n}=-4$$ $$3m+6n=-4m-4n \Rightarrow 7m+10n=0 \Rightarrow 7m=-10n$$

y–निर्देशांक से

$$\frac{-8m+10n}{m+n}=6$$$$-8m+10n=6m+6n \Rightarrow -14m=-4n \Rightarrow 7m=2n$$

दोनों से स्पष्ट है कि m ऋणात्मक है,
अर्थात बिन्दु बाह्य विभाजन करता है।

अनुपात:$$m:n = 2 : 7$$

(b) एक बिन्दु A से, जो एक वृत्त के केन्द्र से 7.5 सेमी दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लम्बाई 6 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Ans. दिया है
बिन्दु A से वृत्त के केन्द्र O की दूरी$$OA = 7.5 \text{ सेमी}$$

बिन्दु A से खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई$$AT = 6 \text{ सेमी}$$

मान लें वृत्त की त्रिज्या = r

सिद्धान्त

वृत्त की त्रिज्या स्पर्श बिन्दु पर स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है।
अतः $\triangle OAT$ समकोण त्रिभुज है।

पायथागोरस प्रमेय

$$OA^2 = OT^2 + AT^2$$$$(7.5)^2 = r^2 + 6^2$$$$56.25 = r^2 + 36$$ $$r^2 = 20.25$$ $$r = \sqrt{20.25} = 4.5$$

(c) सिद्ध कीजिए कि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करने वाली रेखा त्रिभुज की तीसरी भुजा के समान्तर होती है।
Ans. दिया है:
त्रिभुज $ABC$ में भुजा $AB$ पर बिन्दु $D$ तथा भुजा $AC$ पर बिन्दु $E$ इस प्रकार स्थित हैं कि$$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$$

सिद्ध करना है:
$DE \parallel BC$

प्रमाण:

त्रिभुज $ABC$ में बिन्दु $D$D और $E$E क्रमशः भुजाओं $AB$ और $AC$ को एक ही अनुपात में विभाजित करते हैं।

अब समरूपता (BPT का व्युत्क्रम) के अनुसार—
यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करने वाली रेखा खींची जाए,
तो वह रेखा तीसरी भुजा के समान्तर होती है।

यहाँ$$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$$

अतः$$DE \parallel BC$$

(d) दो अंकों की एक संख्या में अंकों का योग 12 है। अंकों का स्थान बदल देने पर प्राप्त संख्या दी गयी संख्या से 18 अधिक है, तो संख्या ज्ञात कीजिए।
Ans. मान लें दो अंकों की संख्या के
दहाई का अंक = $x$
इकाई का अंक = $y$

दिए गए तथ्य

1. अंकों का योग = 12

$$x+y=12 \quad …(1)$$

2. अंकों का स्थान बदलने पर प्राप्त संख्या, दी गई संख्या से 18 अधिक है

मूल संख्या = $10x+y$
नई संख्या = $10y+x$$$10y+x = 10x+y+18 \quad …(2)$$

समीकरण (2) को सरल करें

$$10y+x-10x-y=18$$$$9y-9x=18$$$$y-x=2 \quad …(3)$$

(1) और (3) को हल करें

$$x+y=12$$$$y-x=2$$

दोनों जोड़ने पर$$2y=14 \Rightarrow y=7$$$$x=12-7=5$$

अंतिम उत्तर

मूल संख्या$$10x+y = 10(5)+7 = \boxed{57}$$

अतः दो अंकों की संख्या = 57

(e) द्विघात समीकरण √3x²-11x+8√3=0 के मूल ज्ञात कीजिए।
Ans. दिया गया द्विघात समीकरण है$$\sqrt{3}x^{2}-11x+8\sqrt{3}=0$$

यहाँ$$a=\sqrt{3},\quad b=-11,\quad c=8\sqrt{3}$$

विवर्तक (Discriminant)

$$D=b^{2}-4ac$$$$D=(-11)^{2}-4(\sqrt{3})(8\sqrt{3})$$$$D=121-4\times8\times3$$$$D=121-96=25$$

मूलों का सूत्र

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$$$x=\frac{11\pm\sqrt{25}}{2\sqrt{3}}$$$$x=\frac{11\pm5}{2\sqrt{3}}$$

द्विघात समीकरण के मूल हैं$$\boxed{x=\sqrt{3}\ \text{और}\ x=\frac{8}{\sqrt{3}}}$$

(f) निम्नलिखित आँकड़ों से माध्यिका ज्ञात कीजिए:

Ans.

चरण 1: कुल आवृत्ति (N)

$$N = 2+8+20+15+5 = 50$$ $$\frac{N}{2} = 25$$

चरण 2: संचयी आवृत्ति (cf)

चरण 3: माध्यिका वर्ग

जिस वर्ग की संचयी आवृत्ति पहली बार 25 से अधिक है, वह 20–30 है।

अतः
माध्यिका वर्ग = 20–30

चरण 4: सूत्र का प्रयोग

$$\text{माध्यिका} = l + \left(\frac{\frac{N}{2}-cf}{f}\right)\times h$$

जहाँ
$l = 20$ (माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा)
$cf = 10$ (पूर्व वर्ग की संचयी आवृत्ति)
$f = 20$
$h = 10$

गणना

$$\text{माध्यिका} = 20 + \left(\frac{25-10}{20}\right)\times10$$ $$= 20 + \frac{15}{20}\times10$$$$= 20 + 7.5$$$$= 27.5$$

3. एक ठोस, बेलन के आकार का है और इसके दोनों सिरे अर्द्धगोलीय हैं। इस ठोस की कुल ऊँचाई 19 सैमी है तथा बेलन की त्रिज्या 3.5 सेमी है। ठोस का आयतन तथा सम्पूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Ans. दिया है —
ठोस का आकार = बेलन + दो अर्द्धगोले

त्रिज्या$$r = 3.5 \text{ सेमी}$$

कुल ऊँचाई$$= 19 \text{ सेमी}$$

दो अर्द्धगोले मिलकर = 1 गोला
⇒ गोले का व्यास = $2r = 7$ सेमी

अतः बेलन की ऊँचाई$$h = 19 – 7 = 12 \text{ सेमी}$$

(1) ठोस का आयतन

(i) बेलन का आयतन

$$V_1 = \pi r^2 h = \frac{22}{7}\times 3.5^2 \times 12$$$$= \frac{22}{7}\times \frac{49}{4}\times 12 = 462 \text{ सेमी}^3$$

(ii) गोले का आयतन

$$V_2 = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\times \frac{22}{7}\times 3.5^3$$$$= 179.67 \text{ सेमी}^3 \; (\text{लगभग})$$

कुल आयतन

$$V = V_1 + V_2 = 462 + 179.67 = \boxed{641.67 \text{ सेमी}^3}$$

(2) सम्पूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल

(i) बेलन का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल

$$CSA = 2\pi r h = 2\times \frac{22}{7}\times 3.5 \times 12 = 264 \text{ सेमी}^2$$

(ii) गोले का पृष्ठ क्षेत्रफल

$$SA = 4\pi r^2 = 4\times \frac{22}{7}\times 3.5^2 = 154 \text{ सेमी}^2$$

कुल सम्पूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल

$$= 264 + 154 = \boxed{418 \text{ सेमी}^2}$$

अथवा

एक लम्बवृत्तीय शंकु की तिर्यक ऊँचाई 13 सेमी तथा सम्पूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल 90 सेमी हैं। इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
Ans. दिया है —
लम्बवृत्तीय शंकु की
तिर्यक ऊँचाई $l = 13$ सेमी
सम्पूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल $= 90$ सेमी²

मान लें आधार की त्रिज्या $= r$

सूत्र

शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल:$$\text{TSA} = \pi r (r + l)$$

मान स्थापित करें

$$90 = \frac{22}{7}\, r (r + 13)$$$$90 \times \frac{7}{22} = r(r+13)$$$$\frac{315}{11} = r^2 + 13r$$ $$11r^2 + 143r – 315 = 0$$

द्विघात समीकरण हल करें

$$11r^2 + 143r – 315 = 0$$$$D = b^2 – 4ac = 143^2 – 4(11)(-315)$$ $$= 20449 + 13860 = 34309$$$$\sqrt{D} = 185$$$$r = \frac{-143 + 185}{2 \times 11} = \frac{42}{22} = \frac{21}{11} \approx 1.91 \text{ सेमी}$$

(ऋणात्मक मान अस्वीकार)

आधार का व्यास

$$\text{Diameter} = 2r = \frac{42}{11} \approx 3.82 \text{ सेमी}$$

4. 7 मीटर ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45° है। केबल टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Ans. दिया है —
भवन की ऊँचाई = 7 मीटर

भवन के शिखर से
केबल टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण = 60°
केबल टॉवर के पाद का अवनमन कोण = 45°

मान लें —
भवन और टॉवर के पाद के बीच क्षैतिज दूरी = $x$ मीटर
टॉवर की ऊँचाई = $h$ मीटर

चरण 1: अवनमन कोण से

अवनमन कोण = उन्नयन कोण (समकोण त्रिभुज में)$$\tan 45^\circ = \frac{7}{x}$$$$1 = \frac{7}{x} \Rightarrow x = 7 \text{ मीटर}$$

चरण 2: उन्नयन कोण से

$$\tan 60^\circ = \frac{h – 7}{x}$$$$\sqrt{3} = \frac{h – 7}{7}$$​ $$h – 7 = 7\sqrt{3}$$$$h = 7 + 7\sqrt{3}$$

अथवा

जब सूर्य का उन्नयन कोण Φ से θ हो जाता है तो क्षैतिज तल में खड़े एक स्तम्भ की छाया α मीटर अधिक हो जाती है। स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Ans. मान लें स्तम्भ की ऊँचाई = h मीटर

जब सूर्य का उन्नयन कोण Φ है,
तो स्तम्भ की छाया = $x$ मीटर$$\tan \Phi = \frac{h}{x} \Rightarrow x = \frac{h}{\tan \Phi}$$

जब उन्नयन कोण θ हो जाता है,
तो छाया = $y$ मीटर$$\tan \theta = \frac{h}{y} \Rightarrow y = \frac{h}{\tan \theta}$$

दिया है

छाया α मीटर अधिक हो जाती है$$y – x = \alpha$$ $$\frac{h}{\tan \theta} – \frac{h}{\tan \Phi} = \alpha$$$$h\left(\frac{1}{\tan \theta} – \frac{1}{\tan \Phi}\right) = \alpha$$$$h(\cot \theta – \cot \Phi) = \alpha$$

स्तम्भ की ऊँचाई

$$\boxed{h = \frac{\alpha}{\cot \theta – \cot \Phi}}$$

5. दो संख्याओं को योग 8 है तथा उनके व्युत्क्रमों का योग 8/15 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Ans. मान लें दो संख्याएँ x और y हैं।

दिया है

$$x+y=8 \quad …(1)$$

उनके व्युत्क्रमों का योग:$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{8}{15}$$​ $$\frac{x+y}{xy}=\frac{8}{15} \quad …(2)$$

(1) का मान (2) में रखें

$$\frac{8}{xy}=\frac{8}{15}$$$$xy=15 \quad …(3)$$

अब संख्याएँ ज्ञात करें

x और y के लिए समीकरण:$$t^2-(x+y)t+xy=0$$ $$t^2-8t+15=0$$ $$(t-3)(t-5)=0$$ $$t=3,\;5$$

अथवा

दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 है।
Ans. मान लें दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं$$x \quad \text{और} \quad x+1$$

दिया है

उनके वर्गों का योग = 365$$x^2 + (x+1)^2 = 365$$

हल

$$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 365$$ $$2x^2 + 2x + 1 – 365 = 0$$$$2x^2 + 2x – 364 = 0$$

समीकरण को 2 से भाग दें:$$x^2 + x – 182 = 0$$

गुणनखंड

$$(x+14)(x-13)=0$$$$x=13 \quad \text{या} \quad x=-14$$

ऋणात्मक मान अस्वीकार।